В этой категории всего один объект и всего один морфизм: назовем их, соответственно, «точка» и «стрелка».

Категория 1

Тем самым, категория оказывается полностью определенной. Источник морфизма «стрелка» обязан совпадать с его назначением, поскольку в категории всего один объект. А поскольку в категории всего один морфизм, то это должен быть тождественный морфизм id.

Заметим, что «точка» и «стрелка» могут быть в буквальном смысле чем-угодно: «точкой» может быть какое-то число или множество, и тогда «стрелкой» будет тождественная функция на нем (например, число 0 и функция, переводящая 0 в 0). Но «точка» может быть и некоторым высказыванием А, а морфизмом — тавтология «если А, то А».

«Точка» может представлять собой фигуру, предмет, мысль и т. д. И то же самое — со «стрелкой»: как только они выбраны и определены источник морфизма, его назначение, тождественный морфизм. и закон композиции, мы получаем структуру, удовлетворяющую аксиомам категории. Поэтому можно сказать, что «реально» существует только одна категория с одним объектом и одной стрелкой.

Эта категория имеет два объекта и три морфизма.

Категория 2

Объектам можно присвоить имена 0 и 1, а в качестве морфизмов взять упорядоченные пары < 0, 0 >, < 0, 1 >, и < 1, 1 >.

Действие морфизмов зададим следующим образом: < 0, 0 > : 0 → 0, < 1, 1 > : 1 → 1, и < 0, 1 > : 0 → 1. Можно убедиться, что композиция морфизмов в данной категории также определяется единственным способом.

Данный пример очень характерен, поскольку здесь становится отчетливо видно, что стрелка, или морфизм – понятие, гораздо более общее, чем функция или операция. Действия мы обычно совершаем над числами, но сами числа действиями не являются, и тем не менее, графический характер стрелки позволяет мыслить, что стрелки все же воздействуют на объект N и, значит, как-то преобразуют его.

Категория С будет состоять всего из одного объекта Z. Таким образом
Ob C = {Z}.

В словарной статье, посвященной понятию группы, мы уже приводили пример множества целых чисел в качестве примера группы, содержащей бесконечное число элементов

Статья «Группа (алгебраическая структура)»

Предыдущий пример, возможно, наведет кого-то на мысль, что как категорию можно рассматривать не только множество целых чисел, но и любую группу вообще.

Категория G

Но можно посмотреть на ситуацию и иначе: если треугольник отождествить с множеством его вершин, то нетрудно заметить, что каждая такая манипуляция всего лишь как-то переставляет вершины. В таких случаях говорят о действии группы на множестве. Перестановки вершин можно определить как обратимые отображения множества Х = {a, b, c} вершин треугольника в себя. Если число элементов множества |Х| = n, то существует n! таких перестановок πi , также образующих группу, которая называется симметрической группой Sₙ .

Другими словами, каждая группа действительно есть группа каких-то пробразований, или действий.

Этот результат в теории групп называется теоремой Кэли, которому в теории категорий соответствует его далеко идущее обобщение – лемма Йонеды. С категорной точки зрения, теорема Кэли – всего лишь частный случай этой леммы для категории, состоящей их одного объекта.

Есть и более абстрактно задаваемые категории – такая например, как категория Set, то есть категория, объектами которой являются вообще все множества, а стрелками – все возможные теоретико-множественные функции.

Категория Set

Есть также категория векторных пространств Vect, объекты в которой – векторные пространства, а стрелки – линейные преобразования векторных пространств.

Категория Vect

Мы уже упоминали о ней в нашем лонгриде, посвященном йоге матриц линейных и аффинных преобразований и кватернионов.

Компактный курс «Элементы линейной алгебры или йога матриц и кватернионов»

В зависимости от того, какая конкретно категория рассматривается, в ней, помимо немногих общих свойств, по умолчанию присущих любой категории, встречаются и свои особенности – особые типы объектов и стрелок.

Скажем, в категориях N, Z и в категории симметрий теругольника каждая стрелка являлась обратимой, т. е. изоморфизмом. Отношения включения, выполнявшие роль стрелок в Ω, носят название мономорфных – условно говоря, они не «склеивает элементы».

Существуют и специального вида объекты, наличие которых в той или иной категории что-то нам дополнительно о ней сообщает.

Несколько самых распространенных типов таких объектов и стрелок мы сейчас рассмотрим более подробно.

Важно только помнить, что изначально мы работаем в таком языке, где нас интересуют внешние отношения, а не внутреннее устройство чего-либо. Поэтому все определения любых свойств и отношений объектов и стрелок должны будут даваться исключительно в терминах каких-то других, уже известных отношений.

Например, стрелка f : A → B изоморфизм, если существует стрелка g : B → A такая, что

Можно сказать, просто, что если у нас есть монострелка, то указанное тождество сократимо слева.

И точно так же определяется эпиморфная стрелка, или эпиморфизм — категорный аналог функции «на все множество», т. е. такой, у которой у каждого элемента из области значений имеется прообраз.

Или, если у нас есть эпистрелка, то мы можем на нее сокращать справа.

В заключение заметим, что изоморфная стрелка является одновременно и эпи- и мономорфизмом.

Статья «Автоморфизм»

Cправочный материал

Статья «Теория категорий»